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都立高校でしたら、住民票を都内に移す必要があります。
居住の実態（電気のメーターが回っているかどうかなど）もチェックされる場合があると聞きますので、入学時のみ一時的に移すことは難しいと思います。

今のご自宅を賃貸することは難しいでしょうか。月13万円前後で賃貸されれば、都内の家賃が捻出できるかと。

世帯の住居を、同じ世帯構成で一番長く使うことになるのは老後です。
いまの戸建てが、老後のご夫妻の住まいとしてよい場所にあるなら、売らないことです。
お子さまの高校進学のために転居されても、大学進学時点になれば、数年間は校舎が遠方になることも多く、また自立したがる場合もあるでしょうから、都心に移り住まれたとしても、新たな家賃支払いが発生するおそれもあります。
お子さまが女子で、どんなことがあっても一人暮らしはさせない、というのでしたら別ですが。

いずれにしても、上のお子さまの高校進学から下のお子さまの大学卒業まで、わずか10年ちょっとです。
その後、就職となれば社宅が用意されることもあります。

都立高校進学のため一時的に都心のマンション等に家賃を払って住むにしても、今のご自宅を手放さずにおくのが一番と思います。
顧客のなかでも、「やっとローンを払い終えたら、長男も長女も大学が遠くて出て行ってしまった。主人も長らく単身赴任で、この家は誰のためのものだったのか…」と漏らすかたがいらっしゃいました。
「ご主人のリアイア後、30年ゆっくりできるお住まいじゃないですか。子育て時期より、老後のほうが長いんですよ」
とお話ししたら、少し安堵されていました。

ご自宅の賃貸価格の見積もりと、並行して売却の見積もりもとってもらい、賃貸の家賃が思ったほどでなく、思いのほかよい売却値がついたときは、一度売却されることを検討されてもよいかと思います。

いずれにしても、ご夫妻で、お子さまがたが独立された後、どんな町でどのような暮らしをなさりたいか、じっくりと話し合ってください。